Écritures possibles d'un nombre et reste dans la division euclidienne

Corollaire

Soit \(b \in \mathbb{N}^\ast\) . Tout entier \(a \in \mathbb{Z}\) s'écrit sous l'une des formes suivantes :

\(a=bq \text{ ou } a=bq+1 \text{ ou } a=bq+2 \text{ ou } ... \text{ ou } a=bq+(b-1)\)  avec  \(q \in \mathbb{Z}\) .

Démonstration

D'après le théorème de la division euclidienne, il existe un couple \((q;r)\) , avec  \(q \in \mathbb{Z}\) et  \(0 \leqslant r, tel que  \(a=bq+r\) . Comme  \(r\)  est compris entre  \(0\)  et  \(b-1\) , l'égalité  \(a=bq+r\)  devient l'une des  \(b\) écritures proposées.